Innhold

• retninger
• tips
• advarsel

Definisjonen av epsilon-delta er en demonstrasjon som studentene lærer i det første året av kalkuloklasser. Denne definisjonen er en klassisk måte å vise at en funksjon nærmer seg en bestemt terskel som en uavhengig variabel nærmer seg en gitt verdi. Epsilon og delta er henholdsvis det fjerde og femte bokstaven i det greske alfabetet. Disse bokstavene er tradisjonelt brukt i beregning av grenser og brukes også i demonstrasjonsprosesser.

retninger

Epsilon-delta-definisjonen brukes til å løse grensespørsmål. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Man bør begynne med å jobbe med den formelle grensedefinisjonen. Denne definisjonen sier at "grensen til f (x) er L, når x nærmer seg k, hvis for hver epsilon større enn null er det et tilsvarende delta, større enn null, slik at når verdien absolutt av forskjellen mellom x og k er mindre enn delta, vil absoluttverdien av forskjellen mellom f (x) og L være mindre enn epsilon. "Uformelt betyr dette at grensen for f (x) er L når x nærmer seg k, hvis det er mulig å lage f (x) så nær L som ønsket, ved å nærme x til k. For å utføre epsilon-delta demonstrasjonen, må det vises at det er mulig å definere delta i form av epsilon, for en gitt funksjon og grense.

   
   

2. Manipulere setningen "| f (x) - L | er mindre enn epsilonet" til du får | x - k | mindre enn noen verdi. Vurder denne "noen verdi" for å være deltaet. Husk den formelle definisjonen og sentrale ideen, som sier at det er nødvendig å vise at for ethvert epsilon er det et delta, som etablerer mellom dem et forhold som gjør definisjonen sant. Av denne grunn er det nødvendig å definere delta i form av epsilon.

3. Legg merke til følgende flere eksempler for å ta hensyn til hvordan definisjonen fortsetter. For eksempel, for å bevise at grensen på 3x-1 er 2, når x nærmer seg 1, anser vi k = 1, L = 2 og f (x) = 3x-1. For å være sikker på at | f (x) - L | er mindre enn epsilon, gjør | (3x - 1) - 2 | lavere enn epsilon. Dette betyr at | 3x - 3 | er mindre enn epsilonet, så 3 | x - 1 | er også, eller || x - 1 | er mindre enn epsilon / 3. Dermed vurderer vi at delta = epsilon / 3, | f (x) - L | vil være mindre enn epsilon når | x - k | er mindre enn delta.

   
   

tips

• Den sentrale delen av beviset er å forvandle f (x) - L til x - k. Hvis du holder dette målet i bakhodet, vil resten av demonstrasjonen finne sted perfekt.

advarsel

• I noen situasjoner kan grensen til en funksjon indikere at f (x) har en tendens til uendelighet når x har en tendens til uendelig. Definisjonen av epsilon-delta virker ikke i disse tilfellene; I slike situasjoner kan en lignende demonstrasjon gjøres ved å velge to store tall, M og N, og viser at f (x) kan overstige M ved å forårsake at x overskrider N, og M kan være så stor som ønsket.